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最近，数老师分享了好几门学科非常好用的数字化教学工具，得到老师们积极的留言反馈。今天应其中一位老师要求，分享数学教学中可以使用的数字化工具。
数学概念教学与信息技术融合的实践
文 | 周涛 （安徽省临泉第二中学教师）
数学概念是推理和论证的基础，是思维的基石。概念教学一直很受重视，因为学生只有正确理解、掌握数学概念，才能分析、解决问题，并在此过程中训练思维、提高能力。但有些教师在数学教学中“轻概念、重解题”，对数学概念的教学停留在解释定义的层面。数学概念教学通常做法是教师对定义进行解释，并提示要注意的内容，讲解例题后让学生做练习。许多学生对数学概念的理解存在误区，误将概念等同于定义，把数学概念看作数学知识中孤立的小岛，认为学习数学概念就是记住定义，以便应付教师提问。出现上述问题，原因是多方面的，但有两点是无法回避的：一是数学概念本身具有抽象性；二是没有关注数学概念形成的过程性，教师很少让学生经历和感受概念的形成过程。
目前，信息技术高度发展，在数学教学中，教师可以使用动态数学软件(Geogebra)辅助数学概念教学：在数学实验中形成概念；在观察中归纳概念；在操作中明晰概念；在探究中深化概念。让学生在学习数学概念的过程中，应用Geogebra辅助学习，真正经历和感受概念的形成过程，更好地理解和运用数学概念，进而提高学生分析、解决数学问题的能力。下面笔者结合实例谈谈如何应用Geogebra辅助数学概念教学，进而探索信息技术与新课程融合的方法。
一、在数学实验中形成概念
对于高等数学，是先学极限概念后学积分概念，而中学数学教学是在没有正式引入极限概念情况下进行定积分概念教学，而极限思想在定积分概念的教学中又是无法回避的。
如何在定积分教学中让学生理解并运用极限的思想，从而理解定积分概念呢？为了让学生理解极限的概念，教材中列举了大量实例，但由于积分概念的形成要经历“分割—求和—取极限”这一过程，在教学中教师手工画图不仅费时，而且画出的是一个个孤立静止的图形，不便于学生观察小矩形面积之和趋于曲边梯形面积这一过程。
笔者应用Geogebra制作课件（课件页面如图1），让学生在“f(x)= ”后面的矩形框中输入任意函数，并拖动点A和点B改变积分区间，拖动n改变小矩形数，不足值也会发生相应的变化。在操作中，学生能够直观地观察：当n越来越大，S1越来越小，S2越来越大，S1-S2越来越趋近于0。由此得出“n越来越大，小矩形面积之和越来越趋近曲边梯形面积”这一结论。
这样动态地、直观地展现并解析了积分教学中的难点——极限思想，改变了以往教学教学中教师只能“言传”而学生只能“意会”的局面。
通过上述案例可以看出，在数学概念的教学中，教师充分应用信息技术设计数学实验，让学生像“研究者”一样，通过操作、观察、分析、猜想、归纳、验证、总结等一系列活动来获取知识，使学生由被动接受者转变为主动获取者，从而实现“理解概念，把握本质，厘清知识来龙去脉”的教学目标。
二、在观察中归纳概念
三角函数线是用有向线段的数量表示三角函数的一种数形结合的方法。学生掌握三角函数线概念有利于理解三角函数概念。三角函数线是画三角函数图像的重要方法，是研究三角函数性质的有力工具，是培养学生数形结合思维的理想材料。但在实际教学中，学生普遍反映教材中对关于有向线段概念的提出有些突兀，在解题的过程中三角函数线位置找不准。怎样才能解决这些问题呢？
《普通高中数学课程标准（2017年版）》要求：“教师注重信息技术与数学课程的深度融合，实现传统教学手段难以达到的教学效果。”例如，利用计算机展示几何图形运动变化过程。
笔者使用Geogebra软件制作好课件（课件页面如图2），在课堂上用鼠标拖动点P，让学生观察正弦值、余弦值、正切值分别与线段MB、OM、AT的长度间的变化关系，并发问“能否用这三条线段分别表示这三个三角函数值？”学生陷入沉思。
接着，笔者在课堂上分别单独点拨：“能否将线段和方向配合使用达到表示三角函数值之目的呢？”
最后，留给学生充足的时间去观察和思考，让学生不断地观察、思考、归纳、总结，“本能”地利用“有向线段”表示各个三角函数值。到这一步，教师顺势给出有向线段的定义，学生就不会感到突兀，同时也能深刻地理解什么是三角函数线。学生在观察与归纳的过程中获取知识、解决问题的能力得以提高。
三、在操作中明晰概念
心理学家皮亚杰指出：“活动是认识的基础，智慧从动作开始，切断了动作和思维之间的联系，思维就得不到发展。”在数学概念的教学中，如果学生没有经历操作实践的过程，只是死记硬背，对知识的掌握是不牢固的、肤浅的。
比如，在二分法的概念教学中，教师给出函数的零点往往是不能直接通过计算求出精确值的，否则就体现不出学习二分法的必要性，但由于教师给出的函数的零点不能直接通过计算求出，因而在求近似解的过程中，师生往往陷入繁杂的计算之中，冲淡了课程教学的主题。
教学中往往是教师照本宣科，读一读教材上的例题、数据，学生在教师的解释中“被”理解了“二分法”这一概念，失去了感悟、理解蕴含在二分法概念中极限思想、算法思想、数形结合思想、近似思想等机会。
笔者用Geogebra软件制作了课件（课件页面如图3），让学生动手操作，在输入框中输入任意一个想研究的函数，拖动滑动条a和b，改变初始区间，拖动滑动条n或点击“+”“-”按钮，得到新区间，并将新区间的端点值以列表的形式呈现，在图中以红色线段显示，从而非常直观、逼真地显示这个实数解的范围逐步缩小的过程。
在操作中，学生经历了观察、范围估计、验证等活动，体验了无限逼近、数形结合等思想方法，抽象归纳了用二分法求方程近似解的一般步骤，明晰了二分法这一概念。
四、在探究中深化概念
教师要鼓励学生运用信息技术学习、探究和解决问题。在教学中，教师要指导并鼓励学生利用信息技术对学习的内容进行探究，发现其内在的规律及性质。比如，在函数奇偶性概念的教学中（为了避开高度“形式化”的符号语言给学生造成概念理解的困难），教材从奇偶函数图像特征的角度给出了奇偶函数的“图像定义”——图像关于原点对称的函数叫作奇函数；图像关于y轴对称的函数叫作偶函数。
但在教学中有的教师不明白教材编写者的意图，只是照搬教材中定义，致使学生不能很好地理解奇偶函数概念的内涵，导致在后面的学习中遇到证明函数的奇偶性时，只能直观判断函数图像是否关于原点对称，是否关于y轴对称。其实，在教学中重视信息技术的科学应用，将信息技术与数学课程深度融合，就不会出现上述问题。
笔者以使用Geogebra软件辅助偶函数概念教学为例加以说明。教师指导学生在指令栏中任意输入一个偶函数，不妨假设输入的函数
课件界面如图4所示。教师指导学生用鼠标拖动点P，观察点P’与点P坐标的变化，引导学生从对函数的几何特征关注过渡到对代数特征的关注，把对函数图像的对称性的研究转化为对点的坐标关系的研究。学生在动手操作探究中不难得出“当自变量互为相反数时，函数值相等”的结论。
最后，在指令栏中输入任意函数进行探究，在学生充分观察、探究后，要求学生用通俗的语言对概念进行描述，并在此基础上提炼得出结论“f(-x)=f(x)”。
通过这样的探究，学生不仅慢慢理解偶函数概念，而且逐步得到深化。应用信息手段辅助教学，不仅揭示了偶函数概念的本质，而且挖掘、发展了学生的潜力。
注：本文系安徽省教育信息技术研究2017年度课题“网络环境下Geogebra辅助农村高中数学教学研究”（课题项目编号：AH2017096）的成果。
Geogebra软件官网：www.geogebra.org
进入官网即可直接绘图，并有相关的课程资源。
文章来源：《中小学数字化教学》2019年第1期，原标题为《数学概念教学与信息技术融合的实践》
责任编辑：祝元志
微信编辑：李中华
监 制：朱哲
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